Basiese bewerkingswette

Rekenkunde is een van die oudste vorms van wiskunde. Vanaf die begin van tyd moes mense berekeninge doen om ʼn wye reeks probleme op te los. Verbeel jou jy het vyf albasters, en ʼn maat gee vir jou nog vier albasters by. Om uit te werk hoeveel albasters jy nou het, moet jy die albasters wat jy by jou maat gekry het by die oorspronklike getal albasters wat jy gehad het tel om vir jou die somtotaal te gee. Hierdie voorbeeld klink eenvoudig en vanselfsprekend, maar dit is deel van die basis waaruit rekenkunde ontstaan het. In hierdie artikel gaan ons na die vier basiese bewerkings in wiskunde (wat ook bekend staan as rekenkunde) kyk. Ons gaan ook ondersoek instel na die wette wat met elk gepaard gaan om gelykheid te kry wanneer berekeninge gedoen word.

Waar kom ons nommerstelsel vandaan?

Dit is baie moeilik om ʼn presiese datum aan die begin van rekenkunde te koppel. Ons weet dat mense so ver terug soos 4 000 jaar v.C. reeds begin tel het. Hulle het wel hierdie vaardigheid slegs gebruik om hul diere en kos te tel. Ons weet ook dat die mensdom soveel jaar gelede heel moontlik nie verder as tien kon tel nie, en dat die “nommers” wat hulle gebruik het nie die tradisionele numeriese sisteem is waaraan ons vandag gewoond is nie.

Ons weet dat van die oudste werklike verwikkelinge in wiskunde gemaak is deur die antieke Grieke ongeveer 300 jaar voor Christus. Dit het wel gedurende hierdie tydperk duidelik geraak dat ʼn numeriese stelsel nodig sal wees om standaardbewerkings moontlik te maak. Dit sou ook nodig wees vir ʼn standaardnommerstelsel om ruilhandel tussen lande moontlik te maak. Die Romeine het in hierdie jare reeds van ʼn soort getallestelsel gebruik gemaak, maar dit was baie moeilik om basiese bewerkings met hierdie stelsel te doen.

Die Hindoe-Arabiese bevolking het die desimale getallestelsel ongeveer 1 500 jaar gelede ontwikkel. Dié stelsel is die getallestelsel wat ons vandag nog ken wat op die getal tien gebaseer is – ons kan getalle opdeel in veelvoude van tien so ver nodig is. Dit geld ook breukwaardes (die getalle wat tussen heelgetalle gevind word). ¹

Waar kom die eerste bewerkings vandaan?

Met ʼn werkende nommerstelsel het dit nou moontlik geword om ʼn getalwaarde te koppel aan ʼn sekere aantal voorwerpe. Dit was ook nou moontlik om vergelykings te tref, byvoorbeeld: vier appels is dieselfde hoeveelheid as vier pere (hoewel die items nie dieselfde is nie, kan ons hul hoeveelhede vergelyk). Dit was egter eers in die 12de eeu dat die eerste tekens van gestandaardiseerde simbole vir sekere bewerkings op papier vasgevang is. Voor hierdie tyd was daar tekens van simbole in manuskripte van byvoorbeeld die Egiptenare, maar elke bevolking het hul eie simbool vir elke bewerking gebruik.

Nicole Oresme, ʼn Fransman wat van 1323 tot 1382 geleef het, het die + simbool in sy skrywe gebruik om die Latynse “et” uit te druk, wat “en” beteken. Johannes Widmann het in 1489 vir die eerste keer in ʼn skrywe gebruik gemaak van die + en – simbool, om bytel en wegneem voor te stel. Sy volgelinge het die skryfwyse aangeneem en die simbole + en – is van toe af gebruik om optel (+) en aftrek (-) voor te stel. ²

Die simbool vir deel (÷) het sy eerste verskyning in 1659 gemaak in die werke van die Switserse wiskundige Johann Heinrich Rahn. Die Engelse wiskundige Thomas Brancker het later die werke van Rahn vertaal en só het die simbool ook sy plek in Londen gekry. In die laat 1500’s tot vroeë 1600’s was William Oughtred bekend in die wiskundige veld. Gedurende sy loopbaan het hy krediet gekry vir 150 verskillende simbole wat in wiskunde gebruik word, onder meer die simbool vir vermenigvuldiging (x).

Hierdie simbool het egter eers in die 1800’s sy plek in standaardwiskunde gevind, waarskynlik omdat die “x”-simbool verwar is met die veranderlike “x” wat in algebra gebruik word. Dit is dus later in sommige bewerkings vervang met die “·”-simbool. Pleks daarvan om te skryf 3 x 4, kon jy dus skryf 3 · 4 en dit sou dieselfde beteken.

Wat is die wette vir optel?

Noudat ons weet waar die verskillende bewerkings vandaan kom, kan ons gaan kyk na die wette wat daaraan gekoppel word. Optel is die kombinasie van twee of meer getalle. Die simbool wat ons gebruik vir optel is +. Dit is dus die bymekaartel van getalle. ³

Die wette van aftrek sluit die volgende in:

• Wanneer ons aftrek, word die oorspronklike getal minder. ⁴
• Wanneer ek 0 van enige getal aftrek, sal my oorspronklike getal onveranderd bly. Ek kan nie ’n getal van 0 aftrek nie, want dit sal die waarde van 0 verander. ⁴
• Optel is die omgekeerde bewerking van aftrek. ⁴
• Dus kan ek, net soos met optel, enige aftrekbewerking ook toets deur ʼn optelbewerking te doen. Bv: 6 – 2 = 4 dus  4 + 2 = 6
• Aftrek het nie ʼn kommutatiewe of assosiatiewe eienskap nie. Ek kan dus nie in enige volgorde aftrek nie, want dit sal die antwoord beïnvloed. ⁴
• Bv: 5 – 3 = 2 maar  3 – 5 = -2. Die twee bewerkings is dus nie gelyk aan mekaar nie.
• Bv: (9 – 2) – 3 = 4 maar  9 – (2 – 3) = 10. Dié twee bewerkings is dus ook nie gelyk aan mekaar nie.

Wat is die wette van vermenigvuldiging?

Vermenigvuldiging kan gedefinieer word as die herhalende optel van dieselfde getal. ⁵ Vermenigvuldiging word voorgestel met die simbool x of ·.

Die wette van vermenigvuldiging is:

• Enige getal wat met 0 vermenigvuldig word, bly 0. ⁴ Dus: b x 0 = 0 of 0 x b = 0
• Enige getal wat met 1 vermenigvuldig word, se antwoord sal onveranderd bly. ⁴ Dus: b x 1 = b of 1 x b = b
• Vermenigvuldiging het ook ʼn kommutatiewe eienskap. Dus kan ek getalle in enige volgorde met mekaar vermenigvuldig en dieselfde antwoord kry. ⁴ Dus: a x b = b x a
• Vermenigvuldiging het ʼn distributiewe eienskap: a(b + c) = (a x b) + (a x c). ⁴
• Wanneer ek twee positiewe getalle of twee negatiewe getalle vermenigvuldig, is die antwoord positief, maar wanneer ek een positiewe en een negatiewe getal met mekaar vermenigvuldig, is die antwoord altyd negatief. ⁴

Wat is die wette van deel?

Laaste kyk ons na deel. Deel kan gedefinieer word as die omgekeerde bewerking van vermenigvuldig en word voorgestel met die simbool ÷. ⁵ Wanneer ons deel, werk ons met ʼn deeltal en ʼn deler. In die voorbeeld 21 ÷ 3 = 7, sal 21 die deeltal wees, 3 is die deler en 7 is die kwosiënt. Wanneer die deeltal groter is as die deler, sal die antwoord groter as 1 wees, terwyl die antwoord ʼn breuk sal wees indien die deler groter is as die deeltal. ⁵

Die wette van deel is as volg:

• Deel het nie kommutatiewe of assosiatiewe eienskappe nie. ⁴
• Deelbaarheid kan bepaal word deur ʼn stel van 10 reëls te volg.
• Wanneer ek 0 deel deur enige getal, sal die antwoord 0 wees.
• Ek kan nie ’n getal deel deur 0 nie, die antwoord sal ongedefinieerd wees.