Pythagoras

Het jy al gehoor van die filosoof genaamd Pythagoras? Het jy geweet dat hy een van die eerste wiskundeteorieë in die geskiedenis van wiskunde bewys het? Het jy geweet baie mense verwys na hom as een van die heel eerste “ware” wiskundiges? Indien jy nog nie weet nie, gaan jy in hierdie artikel meer te wete kom van Pythagoras van Samos. Ons gaan kyk na sy lewe en die teorie wat hy bewys het, sowel as die waarde van daardie teorie in die wiskunde wat ons vandag nog gebruik.

Die lewe van Pythagoras

Dit is hartseer om te dink dat Pythagoras een van die bekendste wiskundiges van alle tyd was, en tog weet ons bitter min van sy lewe. Pythagoras is gebore in Samos, Ionia ongeveer 570 v.C. ¹

Anders as meeste antieke wiskundiges en wetenskaplikes was Pythagoras baie geheimsinnig oor sy werk. Daar is nog nooit enige werklike dokumentasie oor sy lewe en werke opgespoor nie. Die data wat wel oor Pythagoras se lewe beskikbaar is, is gedokumenteer deur skrywers wat geglo het hy het bonatuurlike kragte en hom as ʼn tipe afgod opgehef het. Die geloofwaardigheid daarvan is dus twyfelagtig.

Daar is ook baie spekulasie dat Pythagoras dalk nie self die bekende Pythagoras-teorie bewys het nie, maar dat dit bewys is deur van sy volgelinge wat bloot uit respek vir hom die krediet daarvoor gegee het. ¹ Interessant genoeg is dit nie Pythagoras se wiskundige deurbrake wat hom ná die tyd van die filosowe Plato en Aristoteles steeds beroemd gehou het nie. Pythagoras se vroeë roem was gegrond in sy teorie oor reïnkarnasie, sy kundigheid oor geloofsrituele, die feit dat sy volgelinge geglo het dat hy op twee plekke gelyk kan wees en as die ontdekker van ʼn streng lewenswyse wat onder andere die vas van kos (wanneer jy vir ʼn sekere tydperk glad nie kos mag eet nie) en geloofsrituele ingesluit het. ²

Watter bydrae het Pythagoras tot wiskunde gelewer?

Ongeveer 535 v.C. het Pythagoras na Egipte gereis. Hier was hy gefassineerd deur die geometrie van die piramides en het besef dat hy ʼn groter bydrae tot die wiskundige wêreld kan lewer. Ongeveer 15 jaar ná hy Egipte verlaat het, het Pythagoras en sy volgelinge die Pythagoras-teorie bewys. Dit is belangrik om te noem dat Pythagoras nie die eerste was om hierdie teorie te gebruik nie.

Die Babiloniërs en Egiptenare het al baie jare voor Pythagoras die stellings in sy teorie gebruik, maar Pythagoras en sy volgelinge was die eerste om die teorie neer te skryf en te bewys aan die hand van oppervlaktes van vierkante. Pythagoras het bewys dat jy die afstand van enige sy op ʼn reghoekige driehoek kan vind deur die volgende vergelyking te gebruik: a² + b² = c² waar c die skuinssy is, en a en b die sye is wat grens aan die regtehoek. Ons sal hier onder verder na hierdie spesifieke stelling kyk. ³

ʼn Volgende belangrike ontdekking waarvoor Pythagoras en sy volgelinge krediet kry, is die feit dat die binnehoeke van ʼn driehoek gelyk is aan 180°. In die geval van ʼn reghoekige driehoek is die een hoek ʼn regtehoek (dus 90°), en die ander twee hoeke sal die som van 90° wees.

Vandaar kon afgelei word dat die som van die binnehoeke van enige veelhoek (ʼn 2D-vorm met slegs reguit sye) bereken kan word deur die volgende vergelyking: som van binnehoeke = (2n – 4)(90°) waar n die aantal hoeke van die polinoom is. Pythagoras se teorie het ook aanleiding gegee tot ʼn paar ander baie belangrike ontdekkings in die wiskundige wêreld, waaronder irrasionele nommers (jy kan meer lees oor irrasionele nommers in ons artikel oor getallestelsels). ³

Hoe werk Pythagoras se stelling oor die sye van ʼn reghoekige driehoek?

Hoewel Pythagoras se werk in wiskunde gelei het tot vele ander ontdekkings, is die Wet van Pythagoras sy bekendste werk. Kom ons gaan kyk na hoe hierdie wet lyk en hoe dit werk.

Kyk na hierdie skets om te verstaan waar die stelling a² + b² = c²  vandaan kom:

In die skets hier bo kan ons sê dat: c = 5; a = 3; b = 4

Pythagoras se stelling sê vir ons dat die lengte van die sye van ʼn reghoekige driehoek bepaal kan word deur aan te neem dat elk van die sye een van die sye van ʼn vierkant is. Die som van die oppervlaktes van die twee vierkante wat grens aan die regtehoek is gelyk aan die oppervlakte van die skuinssy. In die voorbeeld hier bo is sy a se oppervlakte dus: 3 x 3 = 9 en die oppervlakte van sy b is:

4 x 4 = 16

Die som van die twee oppervlaktes is dus: 9 + 16 = 25. Die antwoord van 25 gee dus vir ons die skuinssy se vierkant se oppervlakte. Om nou te bepaal wat die lengte van die sy is, moet ons die vierkantswortel van hierdie getal vind, dus:  = 5.

Ons kan nou aflei dat die lengte van die skuinssy 5 is. Die formule wat dus hiervan afgelei kan word, is:

c =  waar c die skuinssy van die driehoek is, en a en b die twee aangrensende sye aan die regtehoek. ⁴

Samevatting en gevolgtrekking

Die werk van Pythagoras – hoewel alles nie sy eie was nie – het gelei tot verdere ontwikkeling in verskeie vertakkings van wiskunde. Pythagoras was in sy tyd nie alleenlik bekend vir sy werk in wiskunde nie, maar ook vir sy bydrae tot geloofsrituele, musiek en wetenskap.

Vandag ken ons almal hom as die eerste persoon om ʼn vergelyking te ontwerp wat die lengte van die sye van ʼn reghoekige driehoek kan bereken. Ná Pythagoras was daar al vele ander wiskundiges wat op Pythagoras se teorie voortgebou het en dit op ander maniere bewys het. Een so ʼn wiskundige was Euclid wat verder bewys het dat Pythagoras se teorie op meer as een manier bewys kan word en wat steeds vir ons van onskatbare waarde in die 21^ste eeu is. ⁵