Geometrie

As jy die woord geometrie hoor, dink jy tien teen een aan 2-dimensionele vorms en 3-dimensionele figure, maar het jy geweet dat geometrie soveel meer is as net dít? Die woord geometrie is afgelei van die Griekse woord “geometron”. “Geo” in Grieks beteken aarde, en “metron” beteken afmeting. “Geometron” is dus die aarde se afmetings.

Vandag nog definieer ons geometrie as die afmetings, eienskappe en verwantskappe van punte, lyne, hoeke, areas en soliede oppervlaktes van vorms en voorwerpe. Geometrie staan ook in Afrikaans bekend as meetkunde. ¹ In hierdie artikel gaan ons kyk na die ontstaan van geometrie, sowel as die ses hoofafdelings waarin geometrie verdeel word. Laastens gaan ons ook kyk na die vyf aksiomas (meetkundige begrippe) van Euklidiese geometrie.

Waar kom geometrie vandaan?

Geometrie, saam met rekenkunde, is een van oudste afdelings van wiskunde. Meer as 5 000 jaar gelede het die Egiptenare, deur die beginsels van geometrie te gebruik, reeds geometrie gebruik om komplekse strukture soos die piramides te bou. Ons weet dat mense oor die wêreld heen lank voor die piramides die basiese beginsels van geometrie gebruik het om hul grond vir landbou uit te lê en hul huise te bou. Hierdie beginsels van geometrie was wel nie as wiskundige beginsels opgeteken nie, maar dit was van uiterste belang in die ontwikkeling van geometrie. Die eerste opgetekende geometriese uitvindsels was in Griekeland, Indië en China. ²

Aan die begin van die 6de eeu voor Christus het die Grieke begin om meer in diepte te kyk na die praktiese toepassing van geometrie. Vanuit hierdie eerste gedokumenteerde werke het die ses hoofafdelings van geometrie gespruit, naamlik: Euklidiese geometrie, analitiese geometrie, projektiewe geometrie, differensiale geometrie, nie-euklidiese geometrie en topologie. ³ Kom ons kyk na elk van hierdie afdelings afsonderlik.

Euklidiese geometrie

Euklidiese geometrie beskryf die verhouding tussen lengtes, areas en volumes van werklike voorwerpe. Hierdie afdeling van geometrie het sy oorsprong reeds 300 jaar voor Christus en was destyds gebou op Euklides se Elemente, wat later honderde teorieë bewys het deur deduktiewe logika te gebruik. Euklidiese geometrie word ook erken as die oudste vorm van geometrie. ³

Analitiese geometrie

Analitiese geometrie het in Frankryk ontstaan deur die werk van ʼn wiskundige met die naam René Descartes (1596 – 1650). Descartes het die idee van reghoekige koördinate ontwikkel om ’n mens in staat te stel om algebraïese vergelykings voor te stel deur die gebruik van lyne en kurwes. Algebraïese meetkunde is ʼn moderne uitbreiding van die konsep van multidimensionele spasies. ³

Projektiewe geometrie

Projektiewe geometrie het ook sy oorsprong in Frankryk gehad met die wiskunde van Girard Desargues, in die jare 1591 tot 1661. Projektiewe geometrie handel oor die eienskappe van geometriese figure wat onveranderd bly wanneer hul afdruk of beeld op ʼn ander oppervlakte geprojekteer word. ³

Differensiale geometrie

Die Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) het met die idee van differensiale geometrie opgekom. Deur differensiale calculus te gebruik het hy vasgestel dat die karakter van sommige 3-dimensionele voorwerpe se kurwes gedefinieer kan word deur dit oop te sny en plat te maak op ʼn 2-dimensionele oppervlak. ʼn Voorbeeld hiervan is ʼn silinder, wat ʼn reghoek of vierkant vorm wanneer dit oopgesny word. Dieselfde kan nie gesê word van ʼn sfeer nie, aangesien dié vorm nie op ʼn plat oppervlak platgedruk kan word sonder vervorming nie. ³

Nie-euklidiese geometrie

In die vroeë 1800’s het wiskundiges begin belang stel in nie-euklidiese geometrie. Hierdie studies sou later van kardinale belang wees vir die wetenskapswêreld aangesien nie-euklidiese geometrie handel oor die teorie van relatiwiteit waar die spasie waarin gewerk word in ʼn kurwe is. ³ Die twee soorte nie-euklidiese geometrie wat ons vandag nog gebruik is sferies (of ellipties) en hiperbolies. In eenvoudige terme beteken dit die som van die binnehoeke van ʼn euklidiese driehoek sal altyd gelyk wees aan 180°, terwyl die som van die binnehoeke van ʼn nie-euklidiese driehoek altyd groter as 180° is. ⁴

Topologie

Topologie is die jongste afdeling van geometrie. In 1911 het die Duitse wiskundige L.E.J. Brouwer begin werk aan metodes wat in hierdie afdeling van geometrie toegepas kan word. Topologie fokus op die eienskappe van geometriese objekte wat onveranderd bly selfs al verander jy die objek deur dit te krimp, rek of te vou (maar nie skeur nie). Hierdie afdeling van geometrie ontwikkeling vandag steeds. ³

Wat is die vyf aksiomas van Euklidiese geometrie?

Moderne Euklidiese geometrie is gebaseer op vyf basiese reëls wat, ongeag die omstandighede, onveranderd moet bly. In wiskunde noem ons hierdie reëls die aksiomas van Euklidiese geometrie.

Kom ons kyk na elkeen:

ʼn Reguit lyn kan getrek word tussen enige twee punte: ⁵

Indien jy ʼn reguit lyn op ʼn kartesiese vlak teken, sal daardie lyn kan aangaan sonder ophou in enige rigting.

ʼn Reguit lyn kan oneindig verleng word in enige rigting: ⁵

Indien jy ʼn reguit lyn op ʼn kartesiese vlak teken, sal daardie lyn kan aangaan sonder ophou in enige rigting.

ʼn Sirkel kan rondom enige punt op ʼn kartesiese vlak getrek word. ⁵

Wanneer ek enige punt op ʼn kartesiese vlak neem, kan ek ʼn sirkel rondom daardie punt trek, met die punt as middelpunt van die sirkel en die lyn wat vanaf die punt tot by die rand van die sirkel gaan, die sirkel se radius.

Alle regtehoeke is kongruent: ⁵

Alle regtehoeke is altyd dieselfde, naamlik 90° groot. Ongeag in watter vorm die hoek voorkom of hoe groot die vorm is.

Enige lyn op ʼn kartesiese vlak sal altyd ʼn parallelle lyn hê: ⁵

Vir enige lyn wat ek op ʼn kartesiese vlak teken, kan ek áltyd ʼn lyn parallel aan daardie lyn teken. Natuurlik moet die twee lyne op dieselfde kartesiese vlak wees.

Opsomming

Geometrie of meetkunde het dit vir ons moontlik gemaak om enige vorm of figuur te meet, voor te stel op ʼn kartesiese vlak of selfs te bou. Dit gee ook vir ons ʼn manier om algebraïese vergelykings of uitdrukkings visueel voor te stel. Geometrie lê ook die basis vir verdere wiskundige en wetenskaplike studies en maak dat ons in ons alledaagse lewe eenvoudige probleme kan oplos, soos watter materiaal om te gebruik om goed te bou.